Los libros de texto juegan un papel importante en las decisiones que toman los profesores a la hora de planificar sus clases. Diversos estudios muestran cómo influyen directamente en aspectos cómo se enseña y qué tipo de actividades se hacen con los alumnos.
Los libros de matemáticas también deciden en parte los contenidos y temas que se van a tratar y cómo van a ser presentados. Por ejemplo, si un contenido no aparece en el libro de texto, rara vez es tratado en clase. La forma en la que son tratados los contenidos en el libro de texto es importante porque determina el tipo de enfoque didáctico y las oportunidades de aprendizaje para el alumnado. Los resultados recogidos en pruebas estandarizadas como TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) indican que los profesores se basan principalmente en los contenidos del libro a la hora de seleccionar lo que van a enseñar.
A menudo, se suele culpabilizar a los libros de texto sobre los errores de concepto sobre las fracciones que tienen los alumnos. Por ejemplo, algunos autores indican que hay deficiencias en el trabajo con problemas y que no se permite razonar con el tamaño que representa una fracción. Otros observan que en muchos libros de texto de primaria se empiezan las fracciones demasiado pronto y se enfocan en saber nombrar las fracciones y ordenarlas por su valor, y se pasa directamente a operar con ellas.
En cuanto a la enseñanza de las fracciones, la NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) recomienda que los libros de texto presenten situaciones que potencien la comprensión conceptual de lo que significa la fracción. Esto incluiría conocimientos como: comprender el concepto de unidad, la equivalencia entre fracciones, el uso de la recta numérica y otros modelos visuales, el trabajo de operaciones con fracciones, la estimación del tamaño verdadero de la fracción, la comparación de fracciones, pero, sobre todo, la resolución de problemas conectados con la realidad.
En este artículo se hace un análisis de la manera que tienen diferentes libros de texto de abordar las fracciones en tres países que obtienen resultados diferentes en las pruebas internacionales TIMSS. Estos tres países son Japón, EEUU y Kuwait. Han sido seleccionados porque Japón pertenece a los países que másnota obtienen en esta prueba, mientras que EEUU se sitúa en la media y Kuwait es de los que peoresresultados tiene.
Mientras que en Estados Unidos y Japón existen diferentes editoriales de libros de texto, en Kuwait se estudia con un libro de texto único para todo el país, editado por el ministerio de educación.
A la hora de analizar el contenido de los libros, los autores se fijan en aspectos como lo siguientes:
- ¿Los contenidos matemáticos se presentan con situaciones de la vida real, con dibujos, o con lenguaje escrito?
- ¿Se promueve el uso de material manipulativo para resolver situaciones?
- ¿Qué método de operación se promueve? Algoritmos de papel y lápiz, cálculo mental, estimación o utilización de calculadora.
- ¿Los problemas tienen la misma estructura que en cursos anteriores?
Veamos algunas respuestas a esta preguntas:
En los libros de Kuwait, la gran mayoría de las lecciones empiezan con ejemplos del contenido a tratar, seguido una serie de ejercicios para practicar, que reproducen lo mismo que aparece en el ejemplo. En los tres primeros cursos de primaria, todos los ejemplos de fracciones se ilustran con modelos visuales. La fracciones aparece como un todo dividido en partes iguales y como parte de un conjunto de elementos . La lección continúa proponiendo una serie de ejercicios para practicar. Estos ejercicios reproducen el ejemplo propuesto al principio. Después de esto, vienen otra serie de ejercicios, pero sin apoyo visual, que se centran en ayudar al alumno a desarrollar procedimientos de operaciones con fracciones (sumas y restas). En la siguiente imagen aparece lo descrito:
Solo un 10% del temario está dedicado a plantear problemas.
En resumen: se presenta el contenido con un ejemplo resuelto con una ilustración, y se enseña la “receta” para resolverlos, y se proponen ejercicios repetitivos similares al ejemplo para practicar.
Veamos ahora los libros de Japón. La primera diferencia general es que se dedica menos temas a las fracciones y además se empiezan a enseñar más tarde (en 3.º de Primaria). El tema empieza con un problema introductorio, seguido de una serie de lecciones. El problema inicial presenta una situación que para poder resolver se necesita saber el contenido que se va a aprender en la unidad. Así, cada lección empieza con un problema sobre la vida cotidiana o con una pregunta para reflexionar, seguidos de un objetivo de aprendizaje o una pregunta que dirijan la atención del alumno sobre lo importante del problema propuesto. Por ejemplo, en tercer curso, cuando se introducen las fracciones por primera vez, el problema que se propone es el de “medir el brazo del alumno”. El texto resalta la necesidad de usar las partes como fracciones. El texto, entonces, presenta unas “pistas” para llevar al alumno a que encuentre una solución al problema, seguido de un resumen de la explicación del nuevo concepto (la fracción).
La lección continua con una serie de ejercicios de práctica sobre la nueva idea o habilidad introducida. Esta secuenciación aparece en la gran mayoría de lecciones. Además, a medida que avanzan los cursos, más veces las lecciones comienzan con un problema inicial. En 5.º de primaria, el 90% de lecciones empiezan con un problema.
Lo que es único en los libros japoneses es la conexión de los contenidos con la vida real, en concreto, la forma que tienen de conectar las fracciones con la medida. Por ejemplo, la mayoría de veces conectan las fracciones con los contenidos de longitud o con capacidad (líquidos).
Se centran en utilizar el metro o el litro como la unidad sobre la que hacer partes. De esta forma el alumno crea una conexión significativa con la vida diaria. En los libros de texto, además, se hace uso de la recta numérica. La recta numérica ayuda a visualizar las fracciones y a comparar las diferencias de tamaño y a ordenarlas. Sin embargo, el clásico modelo de fracción como área, donde se presenta una forma geométrica (cuadrado, rectángulo o círculo) partida en partes y alguna de ellas se colorea, se usa solamente para ilustrar la suma y resta de números mixtos. Podemos ver un ejemplo de libro japonés en la siguiente imagen:
En los libros de Estados Unidos, la fracción se introduce ya desde 1.º de Primaria hasta 5.º, y se dedican unos 11 temas durante el proceso (más que en Japón). Estos temas empiezan mostrando algunos datos curiosos en relación a las ciencias sociales, ciencias naturales, la historia u otras materias. Tras los datos, se presenta un problema. Al problema le siguen una serie de ejercicios denominados “comprueba lo que aprendes” con rúbricas que animan al alumno a “centrarse en lo que aprendieron el curso pasado” Tras cada lección, se ponen una serie de ejercicios. Al final del tema, vienen una serie de ejercicios de repaso de la unidad y un test final.
En 1.º y 2.º de Primaria, la lección empieza con un ejemplo resuelto del contenido a aprender seguido de una definición (o viceversa). Estos ejemplos se ilustran o con un modelo de área (parte/todo) o con un modelo de objetos (objeto/total de objetos). La lección sigue con una serie de ejercicios para practicar. La mayoría de ejercicios siguen el mismo modelo presentado en la lección.
Ya en 3.º, 4.º y 5.º curso, las lecciones incluyen un conjunto de preguntas para repasar lo estudiado anteriormente. Además, se incluyen cajas de texto con vocabulario específico. Además, se presentan preguntas o problemas para resolver. En ocasiones, es necesario recurrir a objetos manipulativos para resolver los problemas. Después de que se resuelve el problema, ya se introducen el procedimiento matemático que se va a enseñar durante la lección. Podemos ver un ejemplo de libro en la siguiente imagen:
El principal aspecto diferenciador en los libros de Estados Unidos es el uso de representaciones visuales y el uso de objetos manipulativos. El modelo visual que más utilizan es el del modelo de área (partes/todo), seguido del modelo de barras y la recta numérica.
En todos los países se tiende a la enseñanza de la fracción de forma más abstracta a partir de 5.º curso, ya que se va reduciendo la aparición de modelos visuales. Además, en Japón se dan dos formas de solucionar los problemas y se pide al alumnado que las explique y compare para ver cuál es mejor.
Contenidos que se abordan en los libros
Veamos ahora, curso por curso, los contenidos que se abordan en los libros de texto de los tres países. En Kuwait y Estados Unidos se trabajan contenidos similares. Empiezan enseñando la fracción en 1.º y terminan 5.º con la multiplicación y división de fracciones. Además, se va repitiendo el contenido curso tras curso, es decir: lo que se enseña en 1.º se vuelve a ver en 2.º, y así sucesivamente. No obstante, en Estados Unidos, cada año se añade un nuevo contexto de aplicación del contenido, o una nueva forma de operar. En Kuwait, simplemente se limitan a repetir lo mismo que el año pasado.
En Japón no se enseñan las fracciones hasta 3.º de primaria. En este año, les da tiempo a abarcar los mismos contenidos que los otros países han dado en 1.º y 2.º. Parten de problemas que están integrados en la unidad, mientras que Estados Unidos y Kuwait dedican una sección aparte solo de problemas, como si fuera un contenido distinto. En Japón, la multiplicación y división de fracciones no la ven hasta 6.º de Primaria, un año más tarde que los otros países.
Comparación de lecciones de fracciones
En el artículo comparan cómo se presentan las lecciones sobre dos contenidos: fracciones como parte de un todo y la suma y resta de fracciones con mismo denominador.
Fracciones como parte/todo. Las fracciones a menudo se introducen como parte de un todo. En los libros de Kuwait y Estados Unidos, una lección sobre el concepto de “mitad” se da ya desde 1.º de primaria. Se espera que los alumnos entiendan que las fracciones representan partes de un todo y se les pide que identifiquen el todo (la unidad). Aunque las lecciones en ambos textos empiezan con el modelo clásico de área que muestra la mitad de un todo (la mitad de un cuadrado, de un triangulo, de un círculo…) seguido de una secuencia de ejercicios, hay diferencias significativas en la forma en la que las lecciones se presentan. Los ejemplos en Estados Unidos muestran primero el todo y luego la mitad del todo, y continúan con la definición de lo que sería una mitad (ver ejemplo de la pizza en la imagen de abajo).
En Kuwait, el libro simplemente muestra una figura con la mitad sombreada, sin ninguna aclaración más. En ambos casos continúan haciendo lo mismo con las fracciones de 1/3 y 1/4. Además, en 2.º curso, se repite la misma lección, centrándose en la escritura de fracciones que representan la parte de un todo. En 3.º, el concepto de la fracción como parte de un todo se vuelve a ver, mientras que en Estados Unidos se introduce la recta numérica como un nuevo modelo para representar las fracciones.
En los libros de 3.º de Kuwait no se generaliza el concepto de fracción como parte de un todo. Comienzan con una lección que repasa todas las fracciones introducidas el curso anterior (por ejemplo, 1/2, 1/3, 1/4…) y después continúan con lecciones haciendo lo mismo, pero con fracciones como 1/5, 1/6, 1/7…y fracciones con denominadores entre 7 y hasta 11. Estas lecciones se introducen del mismo modo que en el curso anterior. Al no haber proceso de generalización, no es posible llegar a aprender todas las fracciones, ya que los posibles valores de los denominadores, al igual que los números naturales, son infinitos.
Los libros japoneses también introducen la fracción como la parte de un todo en la primera lección, y los alumnos aprenden a identificar la unidad y sus partes. También presenta la fracción numérica representando la parte del todo. Se les presenta un problema en el que se pide que se mida una longitud ligeramente mayor que un metro, y los alumnos tienen que pensar cómo expresar esa cantidad que no es exactamente un metro. Las lecciones presentan la solución al problema: se recurre al concepto de la fracción y se explica lo que es y cómo hay que escribirla. Además, muestran otras fracciones.
Suma y resta de fracciones con denominador común
En 3.er curso en los tres países se comienza con operaciones de suma y resta de fracciones con denominador común. En Japón, se presenta como parte de la lección centrada en el tamaño de las fracciones. En Kuwait se presenta en lecciones separadas. En Estados Unidos se presenta en un tema aparte que incluye lecciones sobre operaciones con fracciones.
En el tratamiento de este contenido, los libros japoneses se centran en conectarlo con la realidad diaria de los alumnos introduciendo problemas que implican el uso de magnitudes de medida (longitud o capacidad). El libro hace que los alumnos piensen en sumar o restar fracciones para resolverlos. Por ejemplo, da pistas para que piensen en las fracciones como “unidades individuales” (por ejemplo, ir juntando quintos de uno en uno). También recurre a utilizar el modelo del vaso medidor de cocina. El libro no te da directamente la respuesta escrita de 1/5 + 1/5. Sin embargo, en otro problema se les pide a los estudiantes que expliquen cómo han hecho los cálculos para un problema ya resuelto. Todo este proceso se repite cuando se enseña la resta de fracciones.
Aunque las lecciones recurran a las magnitudes de medida para trabajar el significado de la suma y resta de fracciones con mismo denominador, los problemas que recoge el libro se presentan en un contexto puramente matemático, sin modelos visuales. Ya en 4.º curso, se vuelve a tratar el contenido antes de la suma y la resta de números mixtos, pero haciendo un resumen de la “receta” para sumar y restar dos fracciones con denominador común.
En Kuwait, presentan la suma y resta de fracciones haciendo que los alumnos tengan que imitar el ejemplo que se presenta al principio de la lección. La lección empieza con diferentes ejemplos visuales que utilizan los modelos de área sombreada para explicar la suma de fracciones con mismo denominador (ver imagen a continuación).
El libro no añade aclaración ninguna para los ejemplos ni hace preguntas que inviten a la reflexión. Dos páginas de problemas (un total de 23 problemas) se presentan en un contexto puramente matemático, sin contexto y sin ayuda visual. La resta de fracciones se introduce de manera similar. Este contenido se repite en el libro del curso siguiente antes de introducir la suma y resta de fracciones con distinto denominador. La suma y resta de fracciones se vuelve a presentar en 5.º curso con un resumen de la “receta” para calcular.
Los libros de Estados Unidos usan material manipulativo para introducir el concepto antes de desarrollar el procedimiento de cálculo (la receta). La suma y resta de fracciones con denominador común se introduce en 3.º. Se dedica un tema entero a esto. La primera lección introduce el concepto a partir de un problema escrito. Se da la solución utilizando el modelo de barras y centrándose en que el niño “cuente” el número de partes (ver imagen a continuación).
El libro hace dos preguntas sobre por qué cuando sumas dos fracciones (1/5 + 1/5), el denominador no cambia (pero sí el numerador). El procedimiento de la resta se presenta también a través de un problema. Aunque se da la “receta” para sumar dos fracciones con mismo denominador, todos los problemas recurren al modelo de barras para hallar la solución.
Estos ejercicios permiten que los estudiantes utilicen modelos para operar con las fracciones. En el resto de lecciones, básicamente se utiliza el modelo de barras para sumar y restar fracciones. En la resta, se presentan dos formas de operar: quitar piezas o contar la diferencia entre ellas. En 4.º se vuelve a ver la suma y resta de fracciones utilizando nuevamente el modelo de barras, junto con el procedimiento matemático simbólico. En 5.º, una lección repasa este contenido. Se usa el modelo de barras, pero en los problemas se siguen “recetas”.
El abordaje de los problemas matemáticos
En el estudio se analizan diferentes aspecto de los problemas que vienen en los libros. Por ejemplo, se estudian si los problemas promueven el uso de objetos manipulativos, diferentes métodos de cálculo, si los contextos son reales o no, y si el problema sirve para presentar un concepto nuevo.
- El uso de material manipulativo. Los libros de Estados Unidos fueron los únicos que sugerían el uso de objetos manipulativos para resolver problemas de fracciones (modelo de barras). En Kuwaitno se mencionan, y en Japón solo se utilizan en 3.º.
- Contexto de los problemas. Los problemas analizados se presentan en contextos puramente matemáticos o a través de representaciones visuales, en lenguaje escrito o a partir de situaciones reales. Un ejemplo de problema de Estados Unidos sería : “Clyde abre una caja de cereales y se come 1/3 de la caja. ¿Cuánto cereal queda en la caja?”. Los problemas escritos se utilizan sobre todo en los libros estadounidenses. Según se va avanzando en el contenido de las operaciones con fracciones, los problemas se van presentando cada vez más en un contexto puramente matemático. Ya en 5.º curso, todos los países optan por presentar problemas solamente matemáticos. En Kuwait, los problemas basados en situaciones de la vida real no se introducen hasta 4.º curso. En Japón, las fracciones se presentan relacionándolas con situaciones de la vida real, pero los problemas vienen dados tanto de forma puramente matemática como con ayuda de representaciones visuales.
- Métodos de cálculo. La estrategia de cálculo más común de los libros es el uso de algoritmos de papel y lápiz. El uso de operaciones a lápiz va siendo más frecuente a medida que avanzan los cursos. Solo en Estados Unidos se promueve la resolución de problemas a partir de la estimación(en 5.º se dedica un tema entero a estimar resultados de operaciones con fracciones). A los estudiantes se les pide que utilicen el redondeo. Los números se redondean a 0, ½ y 1. Después de trabajar la estimación, el libro presenta unos problemas donde se pide que estime primero el resultado y que después haga el cálculo exacto con lápiz y papel. En ningún país se mencionan estrategias de cálculo mental con fracciones. No hay instrucciones directas sobre ello. Bien es cierto que, aunque que los problemas no lo pidan explícitamente, a la hora de resolverlos es necesario hacer uso del cálculo mental. El uso de calculadoras queda relegado a algunos ejercicios concretos del cierre de la unidad, donde se pide explícitamente su uso.
- Contenidos repetidos. En Estados Unidos y Kuwait es donde más se repiten los contenidos curso tras curso. Los libros tienden a repasar lo aprendido antes de introducir nuevos conceptos. Por ejemplo, en Estados Unidos en 3.º se pide a los alumnos que utilicen el modelo de barras para sumar o restar fracciones. En 4º curso se introduce la misma lección antes de utilizar los procedimientos de papel y lápiz para sumar y restar fracciones. En Kuwait los libros repasan la suma y resta de fracciones varias veces durante las unidades. En Japón es donde se repiten menos los contenidos, y suele ser en los cursos más altos.
CONCLUSIONES PARA LA PRÁCTICA
Según los autores, introducir las fracciones antes de tiempo no significa necesariamente que vaya a producir un mejor aprendizaje. Tampoco la repetición de los contenidos. Tanto los alumnos americanos como kuwaitíes tienen dificultades a la hora de aplicar las reglas y resolver problemas de fracciones. La necesidad de tener que repetir los mismos contenidos implica que, de algún modo, no se están enseñando bien.
Según la literatura especializada en didáctica, la enseñanza de las fracciones debería retrasarse hasta 4.º curso. Vemos que Japón es quien más se acerca a esta recomendación (introduce la fracción en 3.º, mientras que el resto de países lo hace desde 1.º y 2.º).
Además, a los estudiantes se les debería dar la oportunidad de relacionar las fracciones con su vida diaria. La enseñanza debería estar dedicada al desarrollo del significado de la idea de fracción y del significado de su tamaño (el valor de una fracción). Según el National Mathematicas Advisory Panel, se debería enfatizar en la habilidad para comparar y ordenar las fracciones en la recta numérica.
A la hora de operar con fracciones, los libros de texto deberían promover el uso de diferentes métodos de cálculo (la estimación, el cálculo mental o el uso de la calculadora) en lugar del uso exclusivo de operaciones con lápiz y papel.
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Traducción propia elaborada por el autor de este blog a partir del artículo original.
No se han incorporado las citas bibliográficas para facilitar la lectura.
Artículo original:
- Alajmi, A. H. (2012). How do elementary textbooks address fractions? A review of mathematics textbooks in the USA, Japan, and Kuwait. Educational studies in mathematics, 79, 239-261.
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Evidencia en la escuela 