El modelo de barras en matemáticas funciona (Morin y cols., 2017)

La capacidad para la resolución de problemas matemáticos está estrechamente relacionada con el grado de conceptualización matemática de todos los contenidos y en todos los niveles escolares (Cai & Lester, 2010). Sin embargo, los problemas siguen siendo un “problema” para muchos alumnos. Un reporte del National Mathematics Advisory Panel (NMAP, 2008) recoge que hasta un 45 % de alumnos de 8º curso no fueron capaces de resolver un problema en el que había que aplicar una sola división de fracciones. En respuesta a esta realidad, en EEUU se ha puesto la resolución de problemas como la primera en la lista de prioridades del área de matemáticas en las escuelas.

Los alumnos con dificultades en matemáticas (en adelante, MD) constituyen entre un 3 % y un 9 % del total de estudiantes (Swanson, 2012).

Dificultades con problemas

Cuando los investigadores han querido investigar sobre las debilidades de los alumnos con MD, a menudo han diferenciado dos elementos: las habilidades procedimentales y las habilidades conceptuales.

Las habilidades procedimentales son aquellas relacionadas con la fluidez computacional (cálculo mental) o con el recuerdo de datos (como fórmulas o logaritmos), mientras que las habilidades conceptuales tienen que ver más con un adecuado sentido numérico y con habilidades de resolución de problemas (Seethaler & Fuchs, 2010).

Se sabe que las habilidades conceptuales de un niño de preescolar predicen mejor su futuro rendimiento matemático que las habilidades procedimentales (Seethaler & Fuchs, 2010).

En un estudio longitudinal (Jordan, Glutting, & Ramineni, 2010) donde se siguió el desempeño de unos alumnos desde 1º hasta 3º de Primaria, se encontró que el sentido numérico es un fuerte predictor del logro matemático posterior. Los autores encontraron que, mientras el sentido numérico estaba relacionado con mayor o menor capacidad en habilidades de cálculo, estaba incluso mucho más correlacionado con la (futura) habilidad para resolver problemas. Una posible explicación para esto es el hecho de que los problemas matemáticos demandan más un entendimiento conceptual que saber aplicar un proceso reglado y mecánico de cálculo (Maccini & Gagnon, 2002).

Muchos investigadores mantienen que los alumnos con MD a menudo no saben resolver problemas porque parecen mostrar dificultades en la comprensión de conceptos intrínsecos a los problemas, en las habilidades de cálculo, y porque no utilizan estrategias de forma efectiva (Andersson, 2007; Fung, Swanson, & Orosco, 2014; Garrett, Mazzocco, & Baker, 2006; Rosenzweig, Krawec, & Montague, 2011).

Resolver problemas requiere llevar a cabo múltiples tareas simultáneas: decodificar información lingüística, aplicar conceptos matemáticos, crear representaciones mentales, identificar y desarrollar operaciones, y ejecutar cálculos de forma exacta recordando logaritmos concretos (Garrett et al., 2006; Jordan & Montani, 1997; Palincsar & Brown, 1987).

Todas estas tareas se vuelven costosas para aquellos alumnos que presentan déficits en lectura (errores de decodificación o comprensión), en procesos cognitivos (poca memoria de trabajo) y en cognición matemática (conocimiento numérico).

La evidencia existente en investigación educativa respalda la instrucción de estrategias cognitivas (CSI) y la instrucción basada en esquemas (SBI) como prácticas eficaces para ayudar a los alumnos con MD a mejorar sus habilidades de resolución de los problemas (Fuchs et al., 2005; Garrett et al., 2006; Jitendra et al., 2013; Montague & Applegate, 1993; Rosenzweig et al., 2011).

En el estudio que hoy traemos (Morin y cols., 2017) los investigadores quisieron poner a prueba otro tipo de intervención que combinaba elementos de ambas estrategias. Se trata del  Modelo de Representación de Barras (Bar Model Drawing)

 

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Ejemplo de representación utilizada en el modelo de barras (Fuente: google images)

El objetivo del estudio era el de comprobar los efectos que podía producir la enseñanza de esta estrategia concreta sobre la capacidad de resolver problemas de alumnos con MD.

En el estudio participaron 6 alumnos de 3º de Primaria de un colegio público de EEUU que presentaban muy bajo rendimiento en matemáticas, pero no tenían otras dificultades o discapacidades diagnosticadas (como dislexia o autismo).

Antes de iniciar la intervención, los participantes realizaron algunas pruebas matemáticas estandarizadas para conocer su nivel de partida en la resolución de problemas. Obtuvieron resultados por debajo del percentil 16.

La intervención con los alumnos fue llevada a cabo por uno de los investigadores y constaba de 8 clases de matemáticas de dificultad progresiva (de 25 a 40 min.) donde se trabaja de forma explícita la resolución de problemas a través del Modelo de Representación de Barras. Las clases se realizaban al final de la jornada escolar. Al comienzo de cada sesión, el investigador pasaba un pequeño test para comprobar que la anterior sesión había sido entendida y comprendida por el niño. Si el niño demostraba haber comprendido adecuadamente la anterior sesión, se continuaba con la siguiente; si no, se volvía a repetir la misma.

Las instrucciones que el alumno recibía del investigador durante las sesiones eran las siguientes:

  1. Lee el problema entero
  2. Reescribe la pregunta de forma indirecta dejando un espacio para la respuesta.
  3. Determina quién o qué protagoniza el problema.
  4. Dibuja las barras.
  5. Desgrana el problema e identifica la variable desconocida.
  6. Ajusta correctamente las barras y calcula (puedes utilizar la calculadora).
  7. Escribe la respuesta en la oración que escribiste anteriormente. Asegúrate de que la respuesta tiene sentido.

A los participantes se les daba una copia de estos pasos para que la comprobaran cada vez que lo necesitaran. Al final de la última sesión, los niños habían memorizado los pasos y no necesitaron mirar la lista más.

Para comprobar si se había producido una generalización del aprendizaje, al finalizar la intervención los alumnos hicieron un test de 15 problemas matemáticos extraídos de pruebas estandarizadas. Los problemas propuestos eran de suma, resta y multiplicación (“Siete gatos y cinco perros viven en la Venida Virginia. ¿Cuántos gatos hay más que perros?”)

RESULTADOS

  • Antes de la intervención, ningún participante utilizaba estrategias cognitivas para ayudarse a resolver los problemas. Una semana después de acabar la intervención, se volvió a pasar una prueba de problemas y se encontró que todos seguían utilizando lo aprendido de forma correcta en mayor o menor medida, con puntuaciones de acierto que oscilaban entre el 75 % y el 100 %.
  • Antes de la intervención, el porcentaje de acierto en los 15 problemas propuestos variaba entre un 6 % y un 33 %. Tras la intervención, el porcentaje de aciertos aumentó una media de 71 %, obteniendo unos porcentajes de acierto de entre el 60 % y el 87 %.
  • En el pretest, todos los participantes se situaban en posiciones de percentil por debajo de la media, muy por debajo de la media y en los últimos percentiles. Tras la intervención, todos los participantes escalaron puestos (entre 3 y 9 percentiles), algunos llegaron a situarse en la media. El niño que peor puntuación sacó en el pretest, consiguió la ganancia más leve (3 percentiles), mientras que el niño que más puntuación sacó en el pretest, obtuvo una ganancia de 9 percentiles.
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Puntuación de los participantes en las pruebas de problemas (extraído de Morin y cols., 2017)

Implicaciones prácticas

Aunque los autores son conscientes de las evidentes limitaciones del estudio, principalmente por el bajo número de participantes, sus resultados parecen prometedores, y ofrecen una aplicación práctica y a largo plazo para llevar al aula. Primero, debido a que la evidencia empírica respalda la instrucción explícita de estrategias cognitivas con aquellos alumnos con dificultades en matemáticas.

El hecho de reformular la pregunta del enunciado del problema dejando un espacio en blanco para poner la respuesta hace que el alumno piense sobre cómo el problema necesita ser contestado, estructurado, organizado y operado. Puede ayudarles a formar su propia roma de resolver problemas a través de reflexión. Los autores sugieren que en las aulas debería trabajarse más el parafrasear los enunciados de matemáticas, y además, enseñarse de forma explícita a hacerlo.

Finalmente, parece ser que, como ocurre en Singapur, los alumnos más pequeños comprenden mejor los conceptos matemáticos si se les enseña a utilizar este modelo de barras. Además, una vez saben cómo utilizarlo, los profesores puedes ir añadiendo gradualmente conocimientos más complejos en cursos posteriores (Forsten, 2010). Por ejemplo, los problemas de ratios y porcentajes pueden ser resueltos utilizando este modelo también, y si los alumnos parten con la ventaja de saber aplicarlo, les será más fácil aprender esos nuevos contenidos partiendo de sus conocimientos anteriores.

Referencias:

Andersson, U. (2007). The contribution of working memory to children’s mathematical word problem solving. Applied Cognitive Psychology, 21, 1201–1216. doi:10.1002/acp.1317

Cai, J., & Lester, F. (2010). Why is teaching with problem solving important to student learning. National Council of Teachers of Mathematics Research Brief.

Forsten, C. (2010). Step-by-step model drawing: Solving word problems the Singapore way. Peterborough, NH: Crystal Springs Books.

Fung, W. W., Swanson, H. L., & Orosco, M. J. (2014). Influence of reading and calculation on children at risk and not at risk for word problem solving: Is math motivation a medi- ator? Learning and Individual Differences, 36, 84–91. doi:10.1016/j.lindif.2014.10.011

Garrett, A. J., Mazzocco, M. M., & Baker, L. (2006). Development of the metacognitive skills of prediction and evaluation in children with or without math disability. Learning Disabilities Research & Practice, 21, 77–88. doi:10.1111/j.1540- 5826.2006.00208.x

Jordan, N. C., & Montani, T. O. (1997). Cognitive arithmetic and problem solving: A comparison of children with specific and general mathematics difficulties. Journal of Learning Disabilities, 30, 624–634. doi:10.1177/002221949703000606

Jitendra, A. K., Rodriguez, M., Kanive, R., Huang, J. P., Church, C., Corroy, K. A., & Zaslofsky, A. (2013). Impact of small- group tutoring interventions on the mathematical problem solving and achievement of third-grade students with mathe- matics difficulties. Learning Disability Quarterly, 36, 21–35. doi:10.1177/0731948712457561

Maccini, P., & Gagnon, J. C. (2002). Perceptions and application of NCTM standards by special and general education teach- ers. Exceptional Children, 68, 325–344.

Montague, M., & Applegate, B. (1993). Mathematical problem- solving characteristics of middle school students with learning disabilities. The Journal of Special Education, 27, 175–201. doi:10.1177/002246699302700203

Morin, L. L., Watson, S. M., Hester, P., & Raver, S. (2017). The Use of a Bar Model Drawing to Teach Word Problem Solving to Students With Mathematics Difficulties. Learning Disability Quarterly, 0731948717690116.

National Mathematics Advisory Panel. (2008). Foundations for success: The final report of the National Mathematics Advisory Panel. Washington, DC: U.S. Department of Education.

Palincsar, A. S., & Brown, D. A. (1987). Enhancing instruc- tional time through attention to metacognition. Journal of Learning Disabilities, 20(2), 66–75. doi:10.1177/ 002221948702000201

Rosenzweig, C., Krawec, J., & Montague, M. (2011). Metacognitive strategy use of eighth-grade students with and without learn- ing disabilities during mathematical problem solving: A think- aloud analysis. Journal of Learning Disabilities, 44, 508–520. doi:10.1177/0022219410378445

Swanson, H. L. (2012). Cognitive profile of adolescents with math disabilities: Are the profiles different from those with reading disabilities? Child Neuropsychology, 18, 125–143. doi:10.10 80/09297049.2011.589377

Seethaler, P. M., & Fuchs, L. S. (2010). The predictive utility of kindergarten screening for math difficulty. Exceptional Children, 77, 37–59.

Jordan, N. C., Glutting, J., & Ramineni, C. (2010). The importance of number sense to mathematics achievement in first and third grades. Learning and Individual Differences, 20, 82–88. doi:10.1016/j.lindif.2009.07.004

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Traducción realizada partir del artículo original por el autor de este blog.

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